Театр
В 30 лет Чунаев окончил Школу-студию МХАТ, где его однокурсником был Николай Караченцов, а наставником — театральный режиссер и педагог Виктор Карлович Монюков. Обычно выпускников этого вуза автоматически распределяли во МХАТ, но в 1967 году в Театре имени Ленинского комсомола после ухода главного режиссера Анатолия Эфроса наблюдался дефицит кадров. Поэтому десять лучших учеников Монюкова, включая Чунаева и Караченцова, стали членами ленкомовской труппы, расцвет которой начался в 1973-м после прихода в коллектив Марка Захарова.
В театре, расположенном на Малой Дмитровке, Борис Николаевич принял участие во всех наиболее значимых постановках. Актер перевоплощался в морского офицера в рок-опере «“Юнона” и “Авось”», плотника Степана в «Поминальной молитве», Ракли в спектакле «Пролетая над гнездом кукушки (Затмение)».
Кино
Фильмография Чунаева открылась ролью Семкина в картине «Генерал Рахимов», снятой на киностудии «Узбекфильм». В мини-сериале Леонида Пчелкина по произведениям Михаила Шатрова «Штрихи к портрету В. И. Ленина», премьера которого была приурочена к 100-летию вождя мирового пролетариата, Борис Николаевич сыграл безымянного художника-футуриста. Образ Владимира Ульянова-Ленина в ленте создал его однофамилец Михаил Ульянов, в Якова Свердлова перевоплотился Игорь Кваша, в Юлия Мартова — Олег Ефремов, а в Николая Бухарина — Олег Табаков.
Ульянов задействовал артиста «Ленкома» в роли дежурного милиционера Миронова в своей экранизации повести Бориса Васильева «Самый последний день». Еще одного представителя силовых структур (сотрудника КГБ) Чунаев сыграл в драме Пчелкина «Моя судьба», центральный персонаж которой — генерал Михаил Ермакова в исполнении Ивана Лапикова, — выйдя на пенсию, поселился в том же доме, где жил в молодости.
В картине «Убить дракона», снятой Марком Захаровым, Борис Николаевич перевоплотился в рыбака, а в сериале «Д.Д.Д. Досье детектива Дубровского», заглавную роль в котором исполнил Караченцов, — в официанта кафе «Букинист». Последняя лента с участием Чунаева — мелодрама с элементами боевика «Каменная башка», выпущенная Филиппом Янковским в 2008 году, в которой Егора Головина, боксера, потерявшего память после автокатастрофы, сыграл Николай Валуев.
